【線形弾性理論5】1次元問題

　物体力と応力テンソルの成分が 1 つの空間変数、たとえば $x_1$ のみに依存する場合、応力の運動方程式は次のように縮合されます。

$$τ_{i1,1}+ρf_i=ρ\ddot{u}_i\tag{46}$$

1次元問題では以下の3 つのケースが考えられます。

　すべての変位成分のうち、軸方向の変位 $u_1(x_1,t)$ だけが残り、ひずみ成分は $ε_{11}=\partial{u}_1/\partial{x}_1$ のみとなります。式(28)から応力テンソルの成分は次のように得られます。

$$τ_{11}=(λ+2μ)u_{1,1}　,　τ_{22}=τ_{33}=λu_{1,1}\tag{47}$$

そして運動方程式は、

$$(λ+2μ)u_{1,11}+ρf_1=ρ\ddot{u}_1\tag{48}$$

　$u_1$ と $t$ の関数である軸方向直応力 $τ_{11}$ は、消失しない応力成分です。軸直角方向直応力 $τ_{22}$ と $τ_{33}$ をゼロにすると、次の関係が得られます。

$$ε_{22}=ε_{33}=-\frac{λ}{2(λ+μ)}ε_{11}=-νε_{11}\tag{49}$$

ここで、$ν$ はポアソン比です。続いてこれらの結果を $τ_{11}$ の式に置き換えると、次のようになります。

$$τ_{11}=Eε_{1,1}\tag{50}$$

ここで、

$$E=\frac{μ(3λ+2μ)}{λ+μ}\tag{51}$$

定数 $E$ はヤング係数です。式(50) を式(46) に代入すると、運動方程式が得られます。

　$x_1$ 軸に垂直な平面内の変位が存在する場合、

$$\mathbf{u}=u_2(x_1,t)\mathbf{i}_2+,u_3(x_1,t)\mathbf{i}_3$$

それらによる応力は、

$$τ_{21}=μu_{2,1}　,　τ_{31}=μu_{3,1}$$

明らかに、運動方程式はそれぞれ $u_2$ と $u_3$ の独立な波動方程式に帰着します。

今回は以上です。