応力ひずみ関係
一般的に、応力テンソルとひずみテンソルの成分間の線形関係は次のようになります。
$$τ_{ij}=C_{ijkl}ε_{kl}$$
ここで、
$$C_{ijkl}=C_{jikl}=C_{klij}=C_{ijlk}$$
このように、81成分あるテンソル \(C_{ijkl}\) の21個が独立です。係数 \(C_{ijkl}\) が定数である場合、媒体は等方弾性です。材料に優先方向がない場合、材料は弾性的に等方性であり、\(τ_{ij}\) と \(ε_{ij}\) の成分が評価されるデカルト座標系の方向に関係なく、弾性定数は同じでなければなりません。等方弾性は、定数 \(C_{ijkl}\) が次のように表現できることを意味していることがわかります。
$$C_{ijkl}=λδ_{ij}δ_{kl}+μ(δ_{lk}δ_{ji}+δ_{il}δ_{jk})$$
そのためフックの法則はよく知られたつぎの表現になります。
$$τ_{ij}=λε_{kk}δ_{ij}+2με_{ij}\tag{28}$$
式(28)に含まれる弾性係数 \(λ\) と \(μ\) はラーメの弾性係数として知られています。
式(28)に \(j=i\) を代入して、\(ε_{kk}\)（対角項の和）\(δ_{ii}=3ε_{ii}\)を使うと次の結果が得られます。
$$τ_{ii}=(3λ+2μ)ε_{ii}\tag{29}$$
式(28)の \(ε_{ii}\) を \(τ_{ii}/(3λ+2μ)\) に置き換えて \(ε_{ij}\) について解くと、応力項としてひずみが表わされます。
$$ε_{ij}=-\frac{λδ_{ij}}{2μ(3λ+2μ)}τ_{kk}+\frac{1}{2μ}τ_{ij}\tag{30}$$
次の条件の場合にのみ、\(ε_{ij}\) が \(τ_{ij}\) によって一意に決定できることは明らかです。
$$μ≠0 and 3λ+2μ≠0$$
また、有限の応力に対してひずみがゼロにならないようにするには、次の条件も必要です。
$$|μ|<∞ and |3λ+2μ|<∞$$
\(τ_{12}≠0\)、他のすべて \(τ_{ij}≡0\) で定義される特別な応力状態を考慮することで、単純せん断状態を定義し、\(τ_{12}=2με_{12}\) によって \(τ_{12}\) と \(ε_{12}\) を関連付けるせん断係数として \(μ\) を特定します。実験による観察では、小さな変形では \(τ_{12}\) と \(ε_{12}\) が同じ方向をもつことが示されているため、
$$μ>0$$
静水圧として知られる別の特殊な応力状態は、\(τ_{ij}=-pδ_{ij}\) によって定義されます。式(29) を使用すると、\(p=-Bε_{kk}\) がわかります。ここで、\(B=λ+2/3μ\) は圧縮係数または体積係数として知られています。微小変形の場合は、\(ε_{kk}\) は要素の体積変化を表します。静水圧は物体の体積を減少させる必要があるため、\(B>0\) または \(3λ+2μ>0\) でなければなりません。
弾性定数 \(μ\) と \(3λ+2μ\) に関する前述の検討は、次のように要約できます。
$$0<3λ+2μ<∞ , 0<μ<∞\tag{31}$$
応力およびひずみの偏差
応力テンソルは、2 つのテンソルの合計として記述できます。1 つは、各垂直応力成分が \(1/3τ_{kk}\) で、すべてのせん断応力が消滅する球面応力または静水圧応力を表します。補完テンソルは応力偏差と呼ばれ、\(S_{ij}\) で示されます。 したがって、応力偏差の成分は次のように定義されます。
$$S_{ij}=τ_{ij}-\frac{1}{3}τ_{kk}δ_{ij}\tag{32}$$
同じようにひずみ偏差 \(e_{ij}\) を次のように定義されます。
$$e_{ij}=ε_{ij}-\frac{1}{3}ε_{kk}δ_{ij}\tag{33}$$
式(28)より \(S_{ij}\) と \(e_{ij}\) の間には次のような関係があります。
$$S_{ij}=2μe_{ij}\tag{34}$$
\(μ\) はせん断弾性率です。さらに、式(29) によると、
$$\frac{1}{3}τ_{kk}=Bε_{kk}\tag{35}$$
ここで、
$$B=λ+\frac{2}{3}μ\tag{36}$$
は体積弾性率であり、静水圧の状態の議論で先に出てきました。式(34) と 式(35) はフックの法則(式(28)) と完全に等価であり、したがってこれらの方程式は均質、等方、線形弾性体の構成方程式とみなすこともできます。
線形弾性でよく現れるその他の弾性定数は、ヤング率 \(E\) とポアソン比 \(ν\) です。等方性弾性定数間の関係を下表にまとめます。
ひずみエネルギー
ひずみエネルギー密度 \(𝒰\) の定義により、次のようになります。
$$d𝒰=τ_{ij}dε_{ij}$$
式(32)の応力偏差および式(33)のひずみ偏差を代入して、
$$d𝒰=(S_{ij}＋\frac{1}{3}τ_{kk}δ_{ij})d(e_{ij}+\frac{1}{3}ε_{ll}δ_{ij})$$
これ整理すると次のようになります。
$$d𝒰=\frac{1}{3}τ_{kk}dε_{ll}+S_{ij}de_{ij}$$
式(34)と式(35)を使って積分形で示すと、
$$𝒰=\frac{1}{2}B(ε_{kk})^2+μe_{ij}e_{ij}$$
ここで、\(𝒰\) は変形されていない参照状態で消滅すると仮定されます。式(31)で述べた \(μ\) と \(3λ+2μ\) の条件は、\(𝒰\) が正の値であることを意味することが明らかになりました。
$$𝒰≧0\tag{37}$$
また、別の見方をすれば、ひずみエネルギー関数が正の値を取るためには、式(31)が必要十分条件となります。
上表から、式(31)と次式の条件が等価であることがわかります。
$$E>0 and -1<ν<\frac{1}{2}$$
\(B\) と式(33)を \(𝒰\) の式に代入して整理すると、等方ひずみエネルギー密度関数は、つぎのように書くことができます。
$$𝒰=\frac{1}{2}λ(ε_{kk})^2+με_{ij}ε_{ij}\tag{38}$$
今回は以上です。
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