物体力が存在しない場合の変位運動方程式は、式(42)から次のようになります。
$$μu_{i,jj}+(λ+μ)u_{j,ji}=ρ\ddot{u}_i\tag{85}$$
いつものように、合計の規則が暗黙的に示されています。この方程式系には、3 つの変位成分が結合しているという不利な特徴があります。もちろん、3 つの方程式のうち 2 つによって 3 つの変位成分のうち 2 つを削除することで、方程式系を結合解除できます。 しかし、これは 6 次の偏微分方程式になります。はるかに便利なアプローチは、変位ベクトルの成分をポテンシャルの導関数で表現することです。これらのポテンシャルは非結合波動方程式を満たします。
ベクトル表記では、式(85)の変位運動方程式は次のように書くことができます。
$$μ\mathbf{∇}^2\mathbf{u}+(λ+μ)\mathbf{∇∇}・\mathbf{u}=ρ\ddot{\mathbf{u}}\tag{86}$$
次の形式の変位ベクトルの分解を考えてみましょう。
$$\mathbf{u}=\mathbf{∇}ϕ+\mathbf{∇}∧\mathbf{ψ}\tag{87}$$
変位表現式(87)を式(86)に代入すると
$$μ\mathbf{∇}^2[\mathbf{∇}ϕ+\mathbf{∇}∧\mathbf{ψ}]+(λ+μ)\mathbf{∇∇}・[\mathbf{∇}ϕ+\mathbf{∇}∧\mathbf{ψ}]=ρ\frac{\partial^2}{\partial t^2}[\mathbf{∇}ϕ+\mathbf{∇}∧\mathbf{ψ}]$$
\(\mathbf{∇}・\mathbf{∇}ϕ=\mathbf{∇}^2ϕ、\mathbf{∇}・\mathbf{∇}∧\mathbf{ψ}=0\) なので、
$$\mathbf{∇}[(λ+2μ)\mathbf{∇}^2ϕ-ρ\ddot{ϕ}]+\mathbf{∇}∧[μ\mathbf{∇}^2\mathbf{ψ}-ρ\ddot{\mathbf{ψ}}]=0\tag{88}$$
明らかに、変位表現式(87)は次の場合に運動方程式を満たします。
$$\mathbf{∇}^2ϕ=\frac{1}{c_L^2}\ddot{ϕ}\tag{89}$$
$$\mathbf{∇}^2\mathbf{ψ}=\frac{1}{c_T^2}\ddot{\mathbf{ψ}}\tag{90}$$
ここで、
$$c_L^2\frac{λ+2μ}{ρ} and c_T^2\frac{μ}{ρ}\tag{91}$$
式(89)と式(90)は非結合波動方程式です。
スカラー ポテンシャル \(ϕ\) とベクトル ポテンシャル \(ψ\) の成分は一般に境界条件を通じて結合され、これにより数学的にかなりの複雑さが生じますが、変位分解を使用すると一般に解析が簡素化されます。境界初期値問題の解を決定するには、任意の関数または任意の関数の積分に関して式(89)および式(90)の適切な特定の解を選択するだけで済みます。その後、境界条件と初期条件が満たされるようにこれらの関数を選択できれば、問題の解決策が見つかったことになります。この解決策は、一意性の定理によって解が一意に存在することになります。
式(87)は、変位ベクトルの 3 つの成分を他の 4 つの関数 (スカラー ポテンシャルとベクトル ポテンシャルの 3 つの成分) に関連付けていることに注意してください。これは、\(ϕ\) と \(ψ\) の成分が追加の制約条件に従う必要があることを示しています。一般に、\(ψ\) の成分は何らかの方法で関連していると見なされます。常にではありませんが、通常は次の関係
$$\mathbf{∇}・\mathbf{ψ}=0$$
を追加の制約条件とします。この関係には、ベクトルのヘルムホルツ分解と一致するという利点があります。さらに、物体力の分布に依存する非有界媒質と、任意の初期値に対して次のことが示されます。
条件 \(\mathbf{∇}・\mathbf{ψ}=0\) は、弾性力学的変位が次の形式になるための十分な条件です。
$$\mathbf{u}=\mathbf{∇}ϕ+\mathbf{∇}∧\mathbf{ψ}$$
今回は以上です。
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