原理の意味
連続体を含む空間内の均一体の動的挙動は、\(n\) 個の局所従属変数 \(q_1,q_2,･･･,q_n\) とその一次導関数の関数である単一関数（ラグランジュ密度）\(ℒ\) によって指定できます。
$$\dot{q}_i=\frac{\partial q_i}{\partial t} , q_{i,j}=\frac{\partial q_i}{\partial x_j}\tag{70}$$
として、
$$ℒ=ℒ(q_i\enspace ,\enspace \dot{q}_i\enspace ,\enspace q_{i,j})\tag{71}$$
一般に、\(ℒ\) は独立変数 \(x_j\) および \(t\) に直接依存しません。\(q_i,\dot{q}_i\) および \(q_{i,j}\) は \(x_j\) および \(t\) の関数であるため、間接的な依存関係のみが存在します。
ハミルトンの原理は、2 つの時間 \(t_1\) と \(t_2\) の間のすべての可能な運動のうち、システムがたどる実際の経路は、ラグランジュ密度 \(ℒ\) の時間と空間にわたる積分が定常であると述べています。より一般的な原理の記述は次のとおりであり、積分の変動は、 \(t=t_1\) , \(t=t_2\) および任意の体積 \(V\) の境界で、あらゆる変化 \(δq_i\) に対してゼロとなります。
$$δ\int_{t_1}^{t_2}\int_{V}ℒ\enspace dx_1dx_2dx_3dt=0\tag{72}$$
変分法では、つぎの積分
$$\int_{t_1}^{t_2}\int_{V}ℒ\enspace dx_1dx_2dx_3dt\tag{73}$$
が変数 \(t\) , \(x_1\) , \(x_2\) および \(x_3\) の積分範囲が不変であるすべての可能な値に関して定常値を持つためには、次の条件を満たすことが十分条件であることが分っています。
$$\frac{\partial }{\partial t}\Bigl[\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{q}_i}\Bigr]+\sum_{j=1}^3\frac{\partial }{\partial x_j}\Bigl[\frac{\partial ℒ}{\partial (q_{i,j})}\Bigr]-\frac{\partial ℒ}{\partial q_i}=0\tag{74}$$
これが一連のオイラー方程式の存在です。 \(i(i=1,2,3)\) の各値に対して方程式が 1 つあり、この方程式のセットは系の運動方程式を構成します。
物質が連続的に分布し、系が保存系（エネルギー保存が成り立つ）である場合、ラグランジュ密度 \(ℒ\) は、運動エネルギー密度から位置エネルギー密度を引いたものに等しくなります。
$$ℒ=𝒦-𝒰\tag{75}$$
したがって、線形化された弾性理論については、次のようになり、\(ℒ\) は \(u_i\) と \(u_{i,j}\) のみに依存します。
$$ℒ=\frac{1}{2}ρ\dot{u}_i\dot{u}_i-[\frac{1}{2}λ(ε_{kk})^2+με_{ij}ε_{ij}]\tag{76}$$
物体力と表面力を受ける有限な弾性体の場合、ハミルトンの原理の記述は次のように修正されます。
$$δ\int_{t_1}^{t_2}\int_{V}(𝒦-𝒰)dVdt+\int_{t_1}^{t_2}δW_edt=0\tag{77}$$
ここで、\(δW_e\) は、変位が変化したときに物体力と表面力によって行われる仕事を表します。
式(72)で表されるハミルトンの原理は、通常、オイラー方程式(74)の系を取得するために使用されます。等方均質な線形弾性体の運動の変位方程式は、式(76)を使用することによって導出されます。ただし、逆の方向に取り組み、応力運動方程式(39)を出発点としてハミルトンの原理を構築することも可能です。
式(39)はこちら↓
変分運動方程式
ある体積力と表面力を受ける物体の弾性力学的問題を考えます。境界面 \(S\) は、次の境界条件を持つ 2 つの部分、表面力\(\mathbf{t}\) が規定されている \(S_t\) と変位 \(\mathbf{u}\) が規定されている \(S_u\) で構成されます。
ここで、物体の外部境界は規定値と一致するが、その他の点では任意である変位 \(δ\mathbf{u}\) のクラスを考えてみましょう。したがって、\(δ\mathbf{u}\) は \(S_u\) では消滅する必要がありますが、\(δ\mathbf{u}\) は \(S_t\) では任意です。さらに、\(δ\mathbf{u}\) は \(x_i\) と \(t\) の関数であり、 3 回微分が可能であると仮定されます。任意の変位 \(δ\mathbf{u}\) は仮想変位と呼ばれます。「仮想」という用語は、仮想変位が実際の変位ではないことを意味します。
物体に加えられる仮想変位により、外力と表面力に仮想仕事が生じます。\(ρ\mathbf{f}\) が単位体積あたりの物体力である場合、仮想仕事は次のようになります。
$$δW=\int_{V}ρf_iδu_idV+\int_{S_t}t_iδu_idA\tag{78}$$
この式の表面積分は、コーシーの応力公式 \(t_i=τ_{ij}n_j\) を使用し、さらにガウスの定理を適用することによって体積積分に変換できます (式 (13) を参照)。
式(13)はこちら↓
$$\int_{S_t}t_iδu_idA＝\int_{V}(τ_{ij}δu_i)_{,j}dV＝\int_{V}(τ_{ij,j}δu_i+τ_{ij}δu_{i,j})dV\tag{79}$$
ここで、つぎの分解表示を利用します。
$$δu_{i,j}=\frac{1}{2}(δu_{i,j}+δu_{j,i})+\frac{1}{2}(δu_{i,j}-δu_{j,i})=δε_{ij}+δω_{ij}$$
そして、\(δε_{ij}\) と \(δω_{ij}\) がそれぞれ対称と反対称であることに注意することで、\(τ_{ij}\) の対称性を考慮して結論を導き出します。
$$τ_{ij}δu_{i,j}=τ_{ij}δε_{ij}$$
以上より、応力運動方程式に対する仮想仕事は次のように書くことができます。
$$δW=\int_{V}ρ\ddot{u}_iδu_idV+\int_{V}τ_{ij}δε_{ij}dV\tag{80}$$
仮想仕事の 2 つの式(78) と 式(80)が等しいことから、つぎの変分運動方程式が得られます。
$$\int_{V}ρf_iδu_idV+\int_{S_t}t_iδu_idA=\int_{V}ρ\ddot{u}_iδu_idV+\int_{V}τ_{ij}δε_{ij}dV\tag{81}$$
ハミルトンの原理の導出
2 つの任意の時間 \(t_0\) と \(t_1\) にわたって変分運動方程式を積分すると、
$$\int_{t_0}^{t_1}δWdt=\int_{t_0}^{t_1}dt\int_{V}τ_{ij}δε_{ij}dV+\int_{t_0}^{t_1}dt\int_{V}ρ\ddot{u}_iδu_idV\tag{82}$$
上式の第 2 項は、積分の順序を逆にし、\(t\) にわたる部分積分を行うことにより、次のように書くことができます。
$$I=\int_{V}ρ\dot{u}_iδu_idV-\int_{V}dV\int_{t_0}^{t_1}\frac{\partial}{\partial t}(ρδu_i)\dot{u}_idt$$
ここで、時間 \(t=t_0\) および \(t=t_1\) において、\(δui\) が物体内のすべての点で同時にゼロであるという条件を課すと、
$$I=-\int_{V}dV\int_{t_0}^{t_1}\dot{u}_i\frac{\partial}{\partial t}(ρδu_i)dt=-\int_{V}ρdV\int_{t_0}^{t_1}\dot{u}_iδ\dot{u}_idt=-\int_{t_0}^{t_1}δKdt$$
ここで、\(K\) は運動エネルギーであり、
$$K=\int_{V}𝒦dV=\frac{1}{2}\int_{V}ρ\dot{u}_i\dot{u}_idV$$
完全弾性体である場合、次のようなひずみエネルギー \(𝒰(ε_{ij})\) が得られます。
$$τ_{ij}=\frac{\partial 𝒰}{\partial ε_{ij}}\tag{83}$$
そして、
$$\int_{V}τ_{ij}δε_{ij}dV=δ\int_{V}𝒰dV=δU$$
式(82)はつぎのように書き換えられます。
$$δ\int_{t_0}^{t_1}(U-K)dt=\int_{t_0}^{t_1}δW_edt\tag{84}$$
上式は完全弾性体にとってのハミルトンの原理を表わします。
以上
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