【線形弾性理論6】2次元問題

2次元問題　
面外せん断
面内運動
1. 平面ひずみ
2. 平面応力

2次元問題　

　2 次元問題では、物体の力と応力テンソルの成分は、座標の 1 つ、たとえば $x_3$ から独立しています。応力の運動方程式は、$\partial{}/\partial{x_3}≡0$ と設定することで式(39) から導出できます。その結果 2 つの独立な方程式に分割され、

$$τ_{3β,β}+ρf_3=ρ\ddot{u}_3\tag{52}$$

$$τ_{αβ,β}+ρf_α=ρ\ddot{u}_α\tag{53}$$

式(52)と式(53)、およびこのセクション全体を通じて、ギリシャ文字の添字は1と2のみを取ることができます。

面外せん断

　変位分布 $u_3(x_1,x_2,t)$ で記述される変形は、面外せん断変形と呼ばれます。対応する応力成分はフックの法則から次のようになります。

$$τ_{3β}=μu_{3,β}\tag{54}$$

式(52)および式(54)から $τ_{3β}$ を消去すると、$u_3(x_1,x_2,t)$ がつぎのスカラー波動方程式によって表わされることがわかります。

$$μu_{3,ββ}+ρf_3=ρ\ddot{u}_3\tag{55}$$

式(55)で示される単純せん断運動は一般にSH波（horizontally polarized shear motions）と呼ばれます。

面内運動

　式(53)は面内変位 $u_α$ が $x_1$，$x_2$ と $t$ のみに依存する事がわかります。$u_3$ の空間座標と時間への依存性に関して、式(53)からはつぎの2つのケースが記述されます。

平面ひずみ

　平面ひずみの変形では、すべての場の変数は $x_3$ から独立しており、$x_3$ 方向の変位は同様に消滅します。フックの法則により、次の関係が得られます。

$$τ_{αβ}=λu_{γ,γ}δ_{αβ}+μ(u_{α,β}+u_{β,α})\tag{56}$$

$$τ_{33}=λu_{γ,γ}\tag{57}$$

ここで、ギリシャ文字の添字は１と2のみを取ることが出来ます。

式(53)と式(56)から $τ_{αβ}$ を消去すると、

$$μu_{α,ββ}+(λ+μ)u_{β,βα}+ρf_α=ρ\ddot{u}_α\tag{58}$$

式(58)は式(42)から $u_3≡0$ と $\partial{}/\partial{x_3}≡0$ とすることでも直接導かれます。

平面応力

　$τ_{33}$，$τ_{23}$，$τ_{13}$ をゼロとする2次元応力状態は平面応力と呼ばれます。フックの法則から $ε_{33}$ と $ε_{11}＋ε_{22}$ の関係が次のように導かれます。

$$ε_{33}=-\frac{λ}{λ+2μ}u_{γ,γ}\tag{59}$$

式(59) を $τ_{αβ}$ の式に代入すると、

$$τ_{αβ}=\frac{2μλ}{λ+2μ}u_{γ,γ}δ_{αβ}+μ(u_{α,β}+u_{β,α})\tag{60}$$

式(60)を式(53)に代入すると変位の運動方程式が得られます。支配方程式に関する限り、平面ひずみと平面応力の違いは、定数係数の違いにすぎません。式(59) は、座標 $x_3$ に対する $u_3$ の線形依存性を示していることに注意してください。平面応力のケースは、薄いシートの面内運動の近似的な説明によく使用されます。