今回は剛基盤上の一様成層地盤における基本解として、特異解の誘導と一般解の誘導を行います。
特異解の誘導
下図に示すような剛基盤を有する一様成層地盤中に集中衝撃加振が作用する波動場での変位解を導く。まず。波動場を集中加振の上方領域（Ⅰ）と下方領域（Ⅱ）に分割し、各領域の変位および応力の特解を決定する。加振源より強制的に発生する波動は、上方領域（Ⅰ）では上昇波として、下方領域（Ⅱ）では下降波としてそれぞれ定義できる。つまり、変位の特解は、
面内波に対して、
$$\begin{Bmatrix}\hat{u}_{1n}^{(Ⅰ)}(ξ,z)\\ \hat{u}_{2n}^{(Ⅰ)}(ξ,z)\end{Bmatrix}= \begin{bmatrix} -ξ & k_β\\ -k_α & -ξ \end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\hat{B}_{p}・e^{k_αz}\\ \hat{B}_{SV}・e^{k_βz}\end{Bmatrix}\tag{23.a}$$
$$\begin{Bmatrix}\hat{u}_{1n}^{(Ⅱ)}(ξ,z)\\ \hat{u}_{2n}^{(Ⅱ)}(ξ,z)\end{Bmatrix}= \begin{bmatrix} -ξ & k_β\\ -k_α & ξ \end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\hat{A}_{p}・e^{-k_αz}\\ \hat{A}_{SV}・e^{-k_βz}\end{Bmatrix}\tag{23.b}$$
面外波に対して、
$$\hat{u}_{3n}^{(Ⅰ)}(ξ,z)= \hat{B}_{SH}・e^{k_βz}\tag{24.a}$$
$$\hat{u}_{3n}^{(Ⅱ)}(ξ,z)= \hat{A}_{SH}・e^{-k_βz}\tag{24.b}$$
ここで、係数 \( \hat{A}\) ，\(\hat{B}\) は特解に関する未知関数であり、自由振動解に関するものと同様の意味を持つ。応力の特解についても同様に、
面内波に対して、
$$\begin{Bmatrix}\hat{σ}_{12n}^{(Ⅰ)}(ξ,z)\\ \hat{σ}_{22n}^{(Ⅰ)}(ξ,z)\end{Bmatrix}= μ\begin{bmatrix} -2ξk_α & ξ^2+k_β^2\\ξ^2+k_β^2 & -2ξk_β \end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\hat{B}_{p}・e^{k_αz}\\ \hat{B}_{SV}・e^{k_βz}\end{Bmatrix}\tag{25.a}$$
$$\begin{Bmatrix}\hat{σ}_{12n}^{(Ⅱ)}(ξ,z)\\ \hat{σ}_{22n}^{(Ⅱ)}(ξ,z)\end{Bmatrix}= μ\begin{bmatrix} 2ξk_α & -(ξ^2+k_β^2)\\ ξ^2+k_β^2 & -2ξk_β \end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\hat{A}_{p}・e^{-k_αz}\\ \hat{A}_{SV}・e^{-k_βz}\end{Bmatrix}\tag{25.b}$$
面外波に対して、
$$\hat{σ}_{32n}^{(Ⅰ)}(ξ,z)= μk_β\hat{B}_{SH}・e^{k_βz}\tag{26.a}$$
$$\hat{σ}_{32n}^{(Ⅱ)}(ξ,z)= -μk_β\hat{A}_{SH}・e^{-k_βz}\tag{26.b}$$
つぎに、加振作用平面での変位の適合条件 \(z=H\) および応力の釣り合い条件
$$\hat{u}_{in}^{(Ⅰ)}(ξ,H)= \hat{u}_{in}^{(Ⅱ)}(ξ,H)\tag{27}$$
$$\hat{σ}_{i2n}^{(Ⅰ)}(ξ,H)＋\tilde{\bar{f}}_{in}= \hat{σ}_{i2n}^{(Ⅱ)}(ξ,H)\tag{28}$$
より特解を決定する。式(23)，式(24)，式(25)，式(26)を式(27)，式(28)に代入して未知数を解けば、特解は加振力 \(\tilde{\bar{f}}_{in}\) との関係として以下のように表せられる。
$$\begin{Bmatrix}\hat{u}_{1n}^{(Ⅰ)}(ξ,z)\\ \hat{u}_{2n}^{(Ⅰ)}(ξ,z)\end{Bmatrix}= \hat{\mathbf{F}}_{sv-p}^{(Ⅰ)}\begin{Bmatrix}\tilde{\bar{f}}_{1n}\\ \tilde{\bar{f}}_{2n}\end{Bmatrix} ，\begin{Bmatrix}\hat{u}_{1n}^{(Ⅱ)}(ξ,z)\\ \hat{u}_{2n}^{(Ⅱ)}(ξ,z)\end{Bmatrix}= \hat{\mathbf{F}}_{sv-p}^{(Ⅱ)}\begin{Bmatrix}\tilde{\bar{f}}_{1n}\\ \tilde{\bar{f}}_{2n}\end{Bmatrix}\tag{29}$$
$$\hat{u}_{3n}^{(Ⅰ)}(ξ,z)= \hat{F}_{sh}^{(Ⅰ)}・\tilde{\bar{f}}_{3n} ，\hat{u}_{3n}^{(Ⅱ)}(ξ,z)= \hat{F}_{sh}^{(Ⅱ)}・\tilde{\bar{f}}_{3n}\tag{30}$$
$$\begin{Bmatrix}\hat{σ}_{12n}^{(Ⅰ)}(ξ,z)\\ \hat{σ}_{22n}^{(Ⅰ)}(ξ,z)\end{Bmatrix}= \hat{\mathbf{S}}_{sv-p}^{(Ⅰ)}\begin{Bmatrix}\tilde{\bar{f}}_{1n}\\ \tilde{\bar{f}}_{2n}\end{Bmatrix} ，\begin{Bmatrix}\hat{σ}_{12n}^{(Ⅱ)}(ξ,z)\\ \hat{σ}_{22n}^{(Ⅱ)}(ξ,z)\end{Bmatrix}= \hat{\mathbf{S}}_{sv-p}^{(Ⅱ)}\begin{Bmatrix}\tilde{\bar{f}}_{1n}\\ \tilde{\bar{f}}_{2n}\end{Bmatrix}\tag{31}$$
$$\hat{σ}_{32n}^{(Ⅰ)}(ξ,z)= \hat{S}_{sh}^{(Ⅰ)}・\tilde{\bar{f}}_{3n} ，\hat{σ}_{3n}^{(Ⅱ)}(ξ,z)= \hat{S}_{sh}^{(Ⅱ)}・\tilde{\bar{f}}_{3n}\tag{32}$$
なお、 \(\hat{\mathbf{F}}_{sv-p}\) ， \(\hat{F}_{sh}\) ， \(\hat{\mathbf{S}}_{sv-p}\) ， \(\hat{S}_{sh}\) の詳細は巻末に掲載する。
一般解の誘導
つぎに、求められた特解 式(29)～式(32)を一般解 式(14)，式(15)，式(19)，式(20)に代入し、自由表面（\(z=0\)）での応力の境界条件
$$\tilde{\bar{σ}}_{i2n}^{(Ⅰ)}(ξ,0)=0\tag{33}$$
と剛基盤上（\(z=D\)）での変位の拘束条件
$$\tilde{\bar{u}}_{in}^{(Ⅱ)}(ξ,D)=0\tag{34}$$
より自由振動解に関する未知定数が決定される。求められた未知定数および特解を式(14)，式(15)に代入すれば、ラプラス・波数領域での変位解が以下のように得られる。
$$\begin{Bmatrix}\tilde{\bar{u}}_{1n}\\ \tilde{\bar{u}}_{2n}\end{Bmatrix}=\frac{1}{p^{2}R_{sv-p}}(\mathbf{A}\mathbf{E}_{sv-p}\mathbf{H}_{sv-p}+p^{2}R_{sv-p} \hat{\mathbf{F}}_{sv-p})\begin{Bmatrix}\tilde{\bar{f}}_{1n}\\ \tilde{\bar{f}}_{2n}\end{Bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix} φ_{11} & φ_{12}\\ φ_{21} & φ_{22} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\tilde{\bar{f}}_{1n}\\ \tilde{\bar{f}}_{2n}\end{Bmatrix}\tag{35}$$
$$\tilde{\bar{u}}_{3n}=\frac{1}{R_{sh}}(\mathbf{E}_{sh}\mathbf{H}_{sh}+R_{sh} \hat{F}_{sh})\tilde{\bar{f}}_{3n}$$
$$= φ_{33} \tilde{\bar{f}}_{3n}\tag{36}$$
式(35)，式(36)の右辺分母の関数 \(R_{sv-p}\) ， \(R_{sh}\) は波動の特性方程式であり、 \(R_{sv-p}=0\) は面内波における一般化されたRayleigh波を、 \(R_{sh}=0\) は面外波における一般化されたLove波をそれぞれ定義し、
$$R_{sv-p}=8ξ^{2}bk_{α}k_{β}+c_{2}d_{1}cosh\{(k_{α}+k_{β})D\}-c_{1}d_{2}cosh\{(k_{α}-k_{β})D\}\tag{37}$$
$$R_{sh}=cosh(k_{β}D)\tag{38}$$
ここに、
$$b=ξ^{2}+k_{β}^{2} ，c_{1}=ξ^{2}+k_{α}k_{β} ，c_{2}=ξ^{2}-k_{α}k_{β}$$
$$d_{1}=b^{2}-4ξ^{2}k_{α}k_{β} ，d_{2}=b^{2}+4ξ^{2}k_{α}k_{β}\tag{39}$$
なお、 \(\mathbf{H}_{sv-p}\) ， \(\mathbf{H}_{sh}\) は自由振動解に関する未知定数より定義されるマトリックスであり、詳細については巻末に掲載する。
一様成層地盤のラプラス・波数領域解成分
特解の誘導から求められる式(29)～式(32)中の \(\hat{\mathbf{F}}_{sv-p}\) ， \(\hat{F}_{sh}\) ， \(\hat{\mathbf{S}}_{sv-p}\) ， \(\hat{S}_{sh}\)は以下のようである。
$$\hat{\mathbf{F}}_{sv-p}^{(Ⅰ)}= \frac{-V_{s}^{2}}{２μk_{α}k_{β}p^{2}} \begin{bmatrix} k_{β}(-ξ^{2}\bar{e}_{1}+k_{α}k_{β}\bar{e}_{2}) & -ξk_{α}k_{β}(\bar{e}_{1}-\bar{e}_{2})\\ ξk_{α}k_{β}(\bar{e}_{1}-\bar{e}_{2}) & k_{α}(k_{α}k_{β}\bar{e}_{1}-ξ^{2}\bar{e}_{2}) \end{bmatrix} \tag{A.1}$$
$$\hat{\mathbf{F}}_{sv-p}^{(Ⅱ)}= \frac{-V_{s}^{2}}{２μk_{α}k_{β}p^{2}} \begin{bmatrix} k_{β}(-ξ^{2}\bar{e}_{3}+k_{α}k_{β}\bar{e}_{4}) & ξk_{α}k_{β}(\bar{e}_{3}-\bar{e}_{4})\\ -ξk_{α}k_{β}(\bar{e}_{3}-\bar{e}_{4}) & k_{α}(k_{α}k_{β}\bar{e}_{3}-ξ^{2}\bar{e}_{4}) \end{bmatrix} \tag{A.2}$$
$$\hat{F}_{sh}^{(Ⅰ)}=-\frac{1}{２μk_{β}}\bar{e}_{2} ，\hat{F}_{sh}^{(Ⅱ)}=-\frac{1}{２μk_{β}}\bar{e}_{4}\tag{A.3}$$
$$\hat{\mathbf{S}}_{sv-p}^{(Ⅰ)}= \frac{-V_{s}^{2}}{２μk_{α}k_{β}p^{2}} \begin{bmatrix} k_{α}k_{β}(-2ξ^{2}\bar{e}_{1}+b\bar{e}_{2}) & ξk_{α}(-2k_{α}k_{β}\bar{e}_{1}+b\bar{e}_{2})\\ ξk_{β}(b\bar{e}_{1}-2k_{α}k_{β}\bar{e}_{2}) & k_{α}k_{β}(b\bar{e}_{1}-2ξ^{2}\bar{e}_{2}) \end{bmatrix} \tag{A.4}$$
$$\hat{\mathbf{S}}_{sv-p}^{(Ⅱ)}= \frac{-V_{s}^{2}}{２μk_{α}k_{β}p^{2}} \begin{bmatrix} k_{α}k_{β}(2ξ^{2}\bar{e}_{3}-b\bar{e}_{4}) & ξk_{α}(-2k_{α}k_{β}\bar{e}_{3}+b\bar{e}_{4})\\ ξk_{β}(b\bar{e}_{3}-2k_{α}k_{β}\bar{e}_{4}) & -k_{α}k_{β}(b\bar{e}_{3}-2ξ^{2}\bar{e}_{4}) \end{bmatrix} \tag{A.5}$$
$$\hat{S}_{sh}^{(Ⅰ)}=-\frac{1}{2}\bar{e}_{2} ，\hat{S}_{sh}^{(Ⅱ)}=\frac{1}{2}\bar{e}_{4}\tag{A.6}$$
ここに、
$$\bar{e}_{1}=e^{k_{α}(z-H)} ，\bar{e}_{2}=e^{k_{β}(z-H)} ，\bar{e}_{3}=e^{-k_{β}(z-H)}$$
$$\bar{e}_{4}=e^{-k_{β}(z-H)} ，b=ξ^{2}+k_{β}^{2}\tag{A.7}$$
また、式(14)，式(15)で定義された自由振動解に対する未知定数は、
$$\begin{Bmatrix}A_{p} \\ A_{sv} \\ B_{p} \\ B_{sv} \end{Bmatrix}=\frac{V_{s}^{2}}{4μk_{α}k_{β}p^{2}R_{sv-p}}\begin{bmatrix} A_{p1} & A_{p2}\\ A_{s1} & A_{s2} \\ B_{p1} & B_{p2}\\ B_{s1} & B_{s2}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\tilde{f}_{1}\\ \tilde{f}_{2}\end{Bmatrix}$$
$$=\frac{1}{p^{2}R_{sv-p}}\mathbf{H}_{sv-p}\begin{Bmatrix}\tilde{f}_{1}\\ \tilde{f}_{2}\end{Bmatrix}\tag{A.8}$$
$$\begin{Bmatrix}A_{sh} \\ B_{sh} \end{Bmatrix}=\frac{1}{2μk_{β}R_{sh}}\begin{bmatrix} A_{s3}\\ B_{s3} \end{bmatrix} \tilde{f}_{3}=\frac{1}{R_{sh}}\mathbf{H}_{sh}\tilde{f}_{3}\tag{A.9}$$
上式のマトリックス成分は、
$$A_{s3}=-sinh\{k_{β}(D-H)\} , B_{s3}=e_{8}cosh(k_{β}H)\tag{A.10}$$
$$A_{p1}=k_{β}ξ\{E_{1}・e_{1}+E_{2}・e_{2}-2k_{α}k_{β}(E_{3}・e_{3}+E_{4}・e_{4})\}$$
$$A_{p2}=k_{α}k_{β}\{-E_{1}・e_{1}+E_{2}・e_{2}+2ξ^{2}(E_{3}・e_{3}-E_{4}・e_{4})\}$$
$$A_{s1}=k_{α}k_{β}\{2ξ^{2}(F_{1}・e_{1}+F_{2}・e_{2})-F_{3}・e_{3}+F_{4}・e_{4})\}$$
$$A_{s2}=k_{α}ξ\{-2k_{α}k_{β}(F_{1}・e_{1}-F_{2}・e_{2})+F_{3}・e_{3}+F_{4}・e_{4})\}\tag{A.11}$$
$$B_{p1}=k_{β}ξ\{-E_{5}・e_{1}+E_{6}・e_{2}+2k_{α}k_{β}(E_{7}・e_{3}+E_{8}・e_{4})\}$$
$$B_{p2}=k_{α}k_{β}\{E_{5}・e_{1}+E_{6}・e_{2}-2ξ^{2}(E_{7}・e_{3}-E_{8}・e_{4})\}$$
$$B_{s1}=k_{α}k_{β}\{-2ξ^{2}(F_{5}・e_{1}-F_{6}・e_{2})+F_{7}・e_{3}+F_{8}・e_{4})\}$$
$$B_{s2}=k_{α}ξ\{2k_{α}k_{β}(F_{5}・e_{1}+F_{6}・e_{2})-F_{7}・e_{3}+F_{8}・e_{4})\}$$
$$E_{1}=-8bξ^{2}k_{α}k_{β}・e_{5}+c_{1}d_{2}・e_{7}-c_{2}d_{1}・e_{8}$$
$$E_{2}=c_{1}d_{1}・e_{5}e_{8}-c_{2}d_{2}・e_{5}e_{7}$$
$$E_{3}=-2bc_{1}・e_{5}+d_{2}・e_{7}$$
$$E_{4}=d_{1}-2bc_{2}・e_{5}e_{7}$$
$$E_{5}=c_{1}d_{1}・e_{7}-c_{2}d_{2}・e_{8}$$
$$E_{6}=-E_{1}・e_{6}$$
$$E_{7}=d_{1}・e_{7}-2bc_{2}・e_{6}$$
$$E_{8}=d_{2}-2bc_{1}・e_{6}e_{7}\tag{A.12}$$
$$F_{1}=-d_{2}・e_{5}+2bc_{1}・e_{7}$$
$$F_{2}=E_{4}$$
$$F_{3}=8bξ^{2}k_{α}k_{β}・e_{7}-c_{1}d_{2}・e_{5}+c_{2}d_{1}・e_{6}$$
$$F_{4}=-c_{1}d_{1}・e_{6}e_{7}+c_{2}d_{2}・e_{5}e_{7}$$
$$F_{5}=d_{1}・e_{5}-2bc_{2}・e_{8}$$
$$F_{6}=-E_{3}・e_{8}$$
$$F_{7}=c_{1}d_{1}・e_{5}-c_{2}d_{2}・e_{6}$$
$$F_{8}=-F_{3}・e_{8}$$
ここに、
$$b=ξ^{2}+k_{β}^{2} ，c_{1}=ξ^{2}+k_{α}k_{β} ，c_{2}=ξ^{2}-k_{α}k_{β}$$
$$d_{1}=b^{2}-4ξ^{2}k_{α}k_{β} ，d_{2}=b^{2}+4ξ^{2}k_{α}k_{β}\tag{A.13}$$
$$e_{1}=e^{-k_{α}(D-H)} ，e_{2}=e^{-k_{α}H} ，e_{3}=e^{-k_{β}(D-H)} ，e_{4}=e^{-k_{β}H}$$
$$e_{5}=e^{k_{α}D} ，e_{6}=e^{-k_{α}D} ，e_{7}=e^{k_{β}D} ，e_{8}=e^{-k_{β}D}$$
次回は衝撃載荷のモデル化を行います。
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