均質等方線形弾性体の支配運動方程式は、【線形弾性理論4】動的弾性問題の定式化にて指標表記で示されています。ただし、弾性波伝播の分野では、多くの場合 \(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\) ではなく \(x\)、\(y\)、\(z\) を使用しています。\(xyz\)系では、座標方向の変位をそれぞれ \(u\)、\(v\)、\(w\) で表し、ひずみと変位の関係は次のようになります。
$$ε_x=\frac{\partial u}{\partial x}， ε_y=\frac{\partial v}{\partial y}， ε_z=\frac{\partial w}{\partial z}\tag{92}$$
$$2ε_{xy}=2ε_{yx}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\tag{93}$$
$$2ε_{yz}=2ε_{zy}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\tag{94}$$
$$2ε_{zx}=2ε_{xz}=\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\tag{95}$$
フックの法則で表される応力とひずみの関係は、次の式で表されます。
$$τ_x=λ\Bigl (\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\Bigr )+2μ\frac{\partial u}{\partial x}\tag{96}$$
$$τ_y=λ\Bigl (\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\Bigr )+2μ\frac{\partial v}{\partial y}\tag{97}$$
$$τ_z=λ\Bigl (\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\Bigr )+2μ\frac{\partial w}{\partial z}\tag{98}$$
$$τ_{xy}=τ_{yx}=μ\Bigl (\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\Bigr )\tag{99}$$
$$τ_{yz}=τ_{zy}=μ\Bigl (\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\Bigr )\tag{100}$$
$$τ_{zx}=τ_{xz}=μ\Bigl (\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\Bigr )\tag{101}$$
式(87)に示される変位ベクトルの成分とスカラーポテンシャルおよびベクトルポテンシャルの間の関係は、\(xyz\)系では次のようになります。
$$u=\frac{\partial ϕ}{\partial x}+\frac{\partial ψ_z}{\partial y}-\frac{\partial ψ_y}{\partial z}\tag{102}$$
$$v=\frac{\partial ϕ}{\partial y}-\frac{\partial ψ_z}{\partial x}+\frac{\partial ψ_x}{\partial z}\tag{103}$$
$$w=\frac{\partial ϕ}{\partial z}+\frac{\partial ψ_y}{\partial x}-\frac{\partial ψ_x}{\partial y}\tag{104}$$
スカラーポテンシャル \(ϕ\) とベクトルポテンシャル \(\mathbf{ψ}\) の成分 \(ψ_x\)、\(ψ_y\)、\(ψ_z\) はつぎの関係を満足します。
$$\mathbf{∇}^2ϕ=\frac{1}{c_L^2}\frac{\partial^2 ϕ}{\partial t^2}\tag{105}$$
$$\mathbf{∇}^2ψ_x=\frac{1}{c_T^2}\frac{\partial^2 ψ_x}{\partial t^2}， \mathbf{∇}^2ψ_y=\frac{1}{c_T^2}\frac{\partial^2 ψ_y}{\partial t^2}， \mathbf{∇}^2ψ_z=\frac{1}{c_T^2}\frac{\partial^2 ψ_z}{\partial t^2}\tag{106}$$
ここで、
$$\mathbf{∇}^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\tag{107}$$
式(102)～式(104)を式(96)～式(101)に代入すると、応力は変位ポテンシャルによって次のように表せます。
$$τ_x=λ\mathbf{∇}^2ϕ+2μ\Bigl [\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2}+\frac{\partial}{\partial x}\Bigl (\frac{\partial ψ_z}{\partial y}-\frac{\partial ψ_y}{\partial z}\Bigr )\Bigr ]\tag{108}$$
$$τ_y=λ\mathbf{∇}^2ϕ+2μ\Bigl [\frac{\partial^2 ϕ}{\partial y^2}+\frac{\partial}{\partial y}\Bigl (\frac{\partial ψ_z}{\partial x}-\frac{\partial ψ_x}{\partial z}\Bigr )\Bigr ]\tag{109}$$
$$τ_z=λ\mathbf{∇}^2ϕ+2μ\Bigl [\frac{\partial^2 ϕ}{\partial z^2}+\frac{\partial}{\partial z}\Bigl (\frac{\partial ψ_y}{\partial x}-\frac{\partial ψ_x}{\partial y}\Bigr )\Bigr ]\tag{110}$$
$$τ_{xy}=τ_{yx}=μ\Bigl [2\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x\partial y}+\frac{\partial}{\partial y}\Bigl (\frac{\partial ψ_z}{\partial y}-\frac{\partial ψ_y}{\partial z}\Bigr )-\frac{\partial}{\partial x}\Bigl (\frac{\partial ψ_z}{\partial x}-\frac{\partial ψ_x}{\partial z}\Bigr )\Bigr ]\tag{111}$$
$$τ_{yz}=τ_{zy}=μ\Bigl [2\frac{\partial^2 ϕ}{\partial y\partial z}-\frac{\partial}{\partial z}\Bigl (\frac{\partial ψ_z}{\partial x}-\frac{\partial ψ_x}{\partial z}\Bigr )+\frac{\partial}{\partial y}\Bigl (\frac{\partial ψ_y}{\partial x}-\frac{\partial ψ_x}{\partial y}\Bigr )\Bigr ]\tag{112}$$
$$τ_{zx}=τ_{xz}=μ\Bigl [2\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x\partial z}+\frac{\partial}{\partial z}\Bigl (\frac{\partial ψ_z}{\partial y}-\frac{\partial ψ_y}{\partial z}\Bigr )+\frac{\partial}{\partial x}\Bigl (\frac{\partial ψ_y}{\partial x}-\frac{\partial ψ_x}{\partial y}\Bigr )\Bigr ]\tag{113}$$
以上です。
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